Najstarszym, najbardziej „zasłużonym” i wciąż aktualnym nurtem w filozofii matematyki jest koncepcja platońska w jej rozmaitych wariacjach. Pod jej wpływem znajdował się między innymi „ojciec współczesnej matematyki” Georg Cantor, a także niemiecki matematyk Gottlob Frege czy amerykański logik Alonzo Church. Fascynacja platonizmem nadała również kierunek badaniom austriackiego matematyka i logika Kurta Gödla. Już z tej racji warto zastanowić się nad filozoficznymi przesłankami jego twórczości. Co więcej, logiczno–matematyczny dorobek Gödla, szczególnie jego słynne twierdzenia o niezupełności, pozostają „dyżurnym tematem” filozofów matematyki.

Gödel realista

Kurt Gödel nie ukrywał swego światopoglądu filozoficznego, już w 1933 roku deklarując się jako zwolennik platonizmu. Dziesięć lat później w artykule Russell’s Mathematical Logic napisał, że „klasy i pojęcia (concepts) mogą być pojmowane jako realne obiekty, mianowicie klasy — jako «wielości rzeczy» (pluralities of things) lub jako struktury składające się z wielości rzeczy, a pojęcia (concepts) — jako własności i relacje między rzeczami istniejącymi niezależnie od naszych definicji i konstrukcji”. Stanowisko Gödla jest określane mianem realizmu ontologicznego (w odróżnieniu od antyrealizmu). Godnym uwagi jest fakt, że Gödla właściwie nie był idealistą w duchu Platona, gdyż nie pojmował obiektów matematycznych jako pierwotnych w stosunku do przedmiotów fizycznych. Przekonanie o obiektywnym istnieniu uniwersum matematycznego — hierarchii zbiorów będącej przedmiotem teorii mnogości Zermelo–Fraenkla — pozwala ocenić poglądy Gödla jako silny realizm (w opozycji do umiarkowanego realizmu Arystotelesa czy konceptualistów).

Zdaniem Austriaka istnieje tylko jedno niezmienne uniwersum matematyczne. Austriacki logik odrzucał koncepcję tzw. „pełnokrwistego” (full–blooded) platonizmu, czyli „maksymalizmu ontologicznego” połączonego z „minimalizmem epistemologicznym”, głoszącego, że istnieje wiele uniwersów, z których żadne nie zajmuje wyróżnionego miejsca. Matematyk nie tworzy obiektów matematycznych, lecz je odkrywa i opisuje możliwie pełnie, w ramach jednej teorii, nigdy wyczerpująco.

Wrazem platonizmu Gödla jest  jego przekonanie o obiektywności prawdy matematycznej, do której docieramy poprzez „bezpośredni wgląd” — intuicję matematyczną (mathematical insight).

To właśnie filozoficzne credo Gödla stało się punktem wyjścia do jego badań nad podstawami matematyki. Wprawdzie platonizm matematyczny jest raczej przedmiotem wiary aniżeli racjonalnie uzasadnionym stanowiskiem, stąd sam logik miał świadomość, że jego założenia filozoficzne nie mogą „zadowolić żadnego krytycznego umysłu, a nawet nie wywołują przekonania, że są one konsekwentne”. Niemniej był on przekonany o słuszności swych filozoficznych poglądów. Z perspektywy czasu napisał nawet, że „to właśnie antyplatoński przesąd uniemożliwił innym dojście do moich wyników”.

Gödel i źródła wiedzy

Kolejnym wyrazem platonizmu Gödla jest  jego przekonanie o obiektywności prawdy matematycznej, do której docieramy poprzez „bezpośredni wgląd” — intuicję matematyczną (mathematical insight). Nie jest to jednak bezpośrednie nawiązanie do Platońskiego αναµνησιζ . Owej intuicji nie należy rozumieć jako zagadkowego „szóstego zmysłu”. Jest to pewien rodzaj relacji z obiektywną rzeczywistością matematyczną. Umożliwia ona rozumienie wszystkich pojęć opisujących świat matematyki, począwszy od definicji liczby naturalnej, aż po pojęcia teorii mnogości, jak np. „zbiór”, czy „należenie do zbioru”.

Intuicja matematyczna nie dostarcza gotowej, apriorycznej wiedzy. Wedle Gödla, dane intuicji „mogą być rozwijane dzięki głębszym badaniom obiektów, które mogą doprowadzić do przyjęcia naszych stwierdzeń jako aksjomatów”. Zatem intuicja, z jednej strony, reprezentuje „pierwotne pojęcia” matematyczne, z drugiej zaś podlega nieustannemu twórczemu rozwojowi. Dzięki temu analizując podstawowe pojęcia matematyczne, dochodzimy do pojęć coraz to bardziej abstrakcyjnych. Prawidłowe stosowanie intuicji — właściwe ukierunkowanie aktywności intelektualnej, prowadzące do wyjaśnienia sensu pojęć matematycznych — stanowi dla Gödla jedno z kryteriów (wraz z owocnością) prawdziwości wiedzy matematycznej.

Na marginesie należy zaznaczyć, że w wyniku uważnego studium filozofii Husserla (począwszy od roku 1959) Gödla dostrzegł pokrewieństwo między własną koncepcją matematycznego poznania a metodą fenomenologiczną i uznał tę ostatnią za mającą „fundamentalne znaczenie dla podstaw matematyki”. Fenomenologia nie odegrała jednak większej roli w kształtowaniu się poglądów wiedeńskiego logika i nie należy umieszczać jej wśród jego założeń filozoficznych, niemniej jednak trzeba pamiętać, że idee fenomenologiczne przyświecały Gödlowi w drugim okresie jego twórczości filozoficznej.

Gödel i prawda

Gödel jako realista był przekonany o obiektywności pojęcia prawdy matematycznej. Skoro obiekty matematyczne istnieją niezależnie od nas, to nasze badania i opis nie są konstruktami, tworami umysłu, ale ich obiektywną reprezentacją. Należy zauważyć, że Austriak w swych pracach rzadko posługiwał się terminem prawdy (lub prawdziwości) matematycznej, używając w zamian pojęcie poprawności. Sądził bowiem, że pojęcie prawdy jest obciążone filozoficznymi przesądami i z tej racji nie znajduje życzliwego przyjęcia w kręgach współczesnych mu matematyków.

Czym zatem jest prawda w matematyce? W tym miejscu należy przywołać, po pierwsze, twierdzenie Gödla o pełności logiki pierwszego rzędu, pochodzące z 1929 roku, a po drugie jego pierwsze twierdzenie limitacyjne (o niezupełności) ogłoszone dwa lata później. Rzecz ciekawa – twierdzenie o pełności w odniesieniu do logiki pierwszego rzędu poniekąd wskazuje na równoważność prawdziwości i dowodliwości, tj. semantycznego i syntaktycznego ujęcia. Natomiast twierdzenie o niezupełności arytmetyki uwypukla różnicę między semantycznym pojęciem prawdy a syntaktycznym pojęciem dowodliwości.

Twierdzenie Gödla jest wymownym przykładem wzajemnych powiązań pomiędzy logiką a filozofią.

Zdaniem Gödla prawda ma charakter intuicyjny i nieścisły. Jest to pojęcie niedefiniowalne: „prawdy [danego] języka nie można zdefiniować w nim samym”. W tej wypowiedzi uderza podobieństwo do koncepcji prawdy Tarskiego. Gödla jednak nie zajmował się wprost analizą pojęcia prawdy. Nie było ono głównym celem jego badań. Niemniej, jak sam przyznawał, dostrzeżenie owej różnicy między prawdą a dowodliwością stało się dla niego punktem wyjścia do odkrycia twierdzenia o niezupełności: „zasada heurystyczna mojej konstrukcji nierozstrzygalnych zdań teorii liczb sprowadza się do wysoce pozaskończonego pojęcia ‘obiektywnej prawdy matematycznej’ jako czegoś przeciwstawnego [. . . ] pojęciu „dowodliwości”, z którym było powszechnie mieszane przed pracami moimi i Tarskiego”. W wyniku badań Gödla stało się jasne, że pojęcie dowodliwości jest słabsze niż pojęcie prawdziwości. Oznaczało to załamanie się programu D. Hilberta, postulującego formalizację matematyki za pomocą metod finitystycznych, w oparciu o syntaktyczną teorię dowodu (Beweistheorie).

Na skutek rozróżnienia między prawdziwością a dowodliwością w matematyce Gödel w 1951 r. wyróżnił „matematykę w sensie obiektywnym” (matematykę właściwą) i „matematykę w sensie subiektywnym”. Podczas gdy druga obejmuje wszystkie zdania dowodliwe, matematyka „obiektywna” stanowi system zdań „prawdziwych w absolutnym sensie, bez dodatkowych założeń”. Do tej grupy należą takie zdania, jak np. 2 + 2 = 4. Z twierdzeń Gödla wynika, że wszystkie prawdy matematyki nie mogą być zawarte w jednym systemie formalnym.

Gödel i język matematyki

Do uprawiania matematyki istotne znaczenie ma język, w którym formułuje się jej teorie. Gödel był przekonany, że jedynym właściwym narzędziem dla niej jest logika pierwszego rzędu. To założenie opiera się na realizmie ontologicznym Gödla, który wierzył w istnienie intuicji matematycznej, zgodnie z którą „aksjomaty [logiki pierwszego rzędu] narzucają się nam jako prawdziwe”. Znamiennym jest fakt, że wielu komentatorów uważa, że twierdzenia limitacyjne Gödla dotyczą nie tylko arytmetyki, nadbudowanej nad logiką pierwszego rzędu, ale także tych systemów formalnych (przy spełnieniu określonych warunków), które posługują się aparatem logiki drugiego rzędu. Gödlowski wybór First Order Logic dla matematyki nie zawęża jej epistemologicznych konsekwencji tylko do tego języka. Innymi słowy – ograniczenia, które nakładają na matematykę (a wedle szerszej interpretacji — na poznanie w ogóle) twierdzenia Gödla, nie wynikają z ograniczenia jej języka do logiki pierwszego rzędu. Takie same konsekwencje dotyczą również wszystkich systemów, spełniających pewne minimalne warunki.

Nie wszyscy jednak matematycy zgadzają się z wyborem Gödla. Przyjęcie dla matematyki języka logiki pierwszego rzędu wielu uważą za przejaw konwencjonalizmu, arbitralnej decyzji uwarunkowanej co najwyżej historycznie (P. Maddy) i pozbawionej głębszego uzasadnienia. Nie brakuje głosów (S. Shapiro, J. Barwise, F. R. Drake, D. Scott) domagających się formalizowania matematyki w języku logik silniejszych. Czy należy przyznać rację tym propozycjom? Jak zaznacza J. Woleński, wysunięte zarzuty o niewystarczalności First Order Logic są bezpodstawne. Ponadto, w obronie swej tezy, że nie należy uciekać się do logiki drugiego rzędu, krakowski logik przytacza argument, że „posiada [ona] własności niezbyt intuicyjne, m. in. nie jest zwarta, nie istnieje dla niej efektywna i niesprzeczna aksjomatyka, z której można wyprowadzić wszystkie tautologie II rzędu, i wreszcie jest wprawdzie pełna, ale za cenę rozbicia modeli na zasadnicze i wtórne, przy czym kryterium podziału na te modele jest pozalogiczne. Mamy więc do wyboru: albo zachować jednolitość «dobrej» logiki i formalizacji powodujące pewne niedogodności, albo też zgodzić się na wielość logik i ich formalizacji za cenę rozmycia pojęcia logiki”. Pytanie, czy należy identyfikować całą logikę z logiką pierwszego rzędu oraz czy jest ona adekwatnym narzędziem dla matematyki, pozostaje zatem otwarte.

Gödel i brak odpowiedzi

Gödel nie podał żadnego przykładu zdania niezależnego od arytmetyki Peano, jedynie zdanie metamatematyczne „Ja nie jestem twierdzeniem” (które wszelako można zastosować do mówienia o liczbach naturalnych za pomocą arytmetyzacji). Z tego i innych powodów odkrycie Gödla nie od razu spotkało się z życzliwym przyjęciem w gronie logików. Niemniej jego twierdzenia limitacyjne szybko wywołały dyskusję nad tym, jakie konsekwencje o naturze filozoficznej z nich wynikają. Niejednokrotnie twierdzenia Gödla wykorzystuje się w systemach pozaformalnych, wykorzystywanych w metafizycznych czy nawet teologicznych rozważaniach.

Jednym ze skutków pierwszego twierdzenia jest uznanie, że rekurencyjnie aksjomatyzowalna teoria formalna zawiera zdania nierozstrzygalne w ramach danej teorii. Prowadzi to do konieczności odwołania się do coraz to bogatszych systemów. W sposób naturalny fakt ten wywołuje pytanie o granice naszego poznania. Nie ulega wątpliwości, że Gödlowskie twierdzenia limitacyjne mówią o ograniczoności metody aksjomatyczno–dedukcyjnej, przynajmniej w zakresie logiki pierwszego rzędu. Często wniosek ten jest ekstrapolowany również na inne dziedziny poznania. K. Wójtowicz wspomina o opinii J. Życińskiego, zgodnie z którą „twierdzenie Gödla ma dowodzić niemożności udzielenia naukowej odpowiedzi na pytania o charakterze egzystencjalnym czy metafizycznym”, o supozycji S. L. Jakiego, że próby poszukiwania „teorii wszystkiego” bez odwołania się do założeń o naturze teologicznej z góry są skazane na niepowodzenie, a także o przekonaniu Katsoffa o niemożliwości istnienia zupełnej i ostatecznej teorii rzeczywistości, tzn. metafizyki.

Czy rzeczywiście metamatematyczne twierdzenia Gödla mają jakieś zasadne konsekwencje epistemologiczne? Jest rzeczą oczywistą, że wnioski o charakterze filozoficznym („materialnym”) nie wynikają wprost z twierdzeń logiczno–metamatematycznych przy zastosowaniu reguł inferencji, ale dotyczą takiej czy innej interpretacji tezy logicznej. Jak w przypadku każdego poważnego problemu, tak i w wypadku konsekwencji filozoficznych twierdzeń Gödla, opinie są podzielone. Jedni badacze stoją na stanowisku „minimalizmu” czy też „optymizmu” interpretacyjnego, utrzymując, że sugestia o ograniczoności ludzkiego poznania powstaje jedynie na skutek braku mocniejszych środków technicznych, które w przyszłości pozwoliłyby uniknąć ograniczeń nakładanych przez twierdzenia limitacyjne. Jak wspomniałam wyżej, istnieją próby sformalizowania matematyki w języku logiki drugiego rzędu, co w opinii autorów tego projektu, osłabiłoby moc wiążącą twierdzeń Gödla. W tym wypadku można by mówić nie o absolutnej, ale o względnej ograniczoności ludzkiego poznania w ogóle i metody dedukcyjnej w szczególności.

Gödel i myśl

Inni znawcy problemu bronią tezy, że twierdzenia Gödla z całą pewnością posiadają mocne reperkusje epistemologiczne. Do zwolenników pesymistycznej (a raczej sceptycznej) interpretacji twierdzeń limitacyjnych należy H. DeLong argumentując, że dotychczasowe wysiłki zbudowania systemu, w którym by one nie obowiązywały, skończyły się niepowodzeniem. Z kolei J. Ladrière sygnalizuje, że nawet gdyby udało się skonstruować takie systemy, „będą to jednak albo systemy ubogie, wyrażające bardzo ograniczoną dziedzinę matematyki intuicyjnej, albo też systemy, w których pewne pojęcia przybierają sens całkowicie odmienny od sensu łączonego z nimi na poziomie intuicji. […] Formalizacja nie może dostarczyć obiektywnego modelu myślenia; nie jest ona w stanie ogarnąć całości tego, co poznawalne. [. . . ] Myśl zawiera więcej niż można wyrazić w ścisłych granicach rachunku logicznego”.

Gödel żywił przekonanie, a nawet poszukiwał argumentów na rzecz tego, że prawa myślenia nie są mechaniczne.

Przytoczmy w tym miejscu bardzo wyważoną — jak się wydaje — opinię J. Woleńskiego. Jest on zdania, że istotnie, drugie twierdzenie Gödla, głoszące, że niesprzeczność formalnej arytmetyki pierwszego rzędu nie jest w niej dowodliwa, implikuje tezę o niepewności naszego poznania, o ile przyjmiemy dodatkowe przesłanki: (1) dowodliwość niesprzeczności naszego poznania w nim samym jest warunkiem koniecznym jego pewności oraz (2) formalna arytmetyka I rzędu należy do naszego poznania. Za K. Ajdukiewiczem Woleński wyróżnia konsekwencje logiczne i konsekwencje interpretacyjne, które zależą od akceptacji (choćby implicite ) dodatkowych przesłanek. Ponieważ najczęściej nie możemy wykazać ich prawdziwości, problem interpretacji pozostaje otwarty. Niemniej Woleński uważa, że wykorzystywanie twierdzeń Gödla w epistemologii „jest równie zasadne, jak rozpatrywanie determinizmu w oparciu o mechanikę kwantową. I tak jak rozprawianie o determinizmie bez uwzględnienia zasady nieoznaczoności jest obecnie jałowe, tak też jałowe są analizy epistemologiczne ignorujące twierdzenia limitacyjne”.

Gödel i siła umysłu

Oprócz licznych przykładów wykorzystania twierdzenia Gödla w dociekaniach nad naturą matematyki i naturą poznania w ogóle nie brakuje prób zastosowania go także do badań nad naturą ludzkiego umysłu i sztuczną inteligencją. E. Nagel i J. R. Newman w roku 1953 w słynnej monografii Twierdzenia Gödla wskazywali, „że struktura i działalność umysłu ludzkiego jest daleko bardziej złożona i subtelna niż budowa i sposób funkcjonowania którejkolwiek z maszyn, jakie dziś potrafimy zaprojektować”. Amerykańscy badacze dostrzegali w tym powód „nie do zwątpienia, lecz do wzmożonej ufności w potęgę twórczego umysłu”. Następnie J. R. Lucas w artykule Minds, Machines and Gödel (1961) usiłował wykazać niemożliwość sztucznej inteligencji, powołując się właśnie na odkrycie wiedeńskiego logika. Dziś jednak, głównie za sprawą H. Dreyfusa, odmawia się słuszności argumentacji Lucasa, gdyż jest ona w gruncie rzeczy paralogizmem.

Interesującym jest fakt, że sam Gödel żywił przekonanie, a nawet poszukiwał argumentów na rzecz tego, że prawa myślenia nie są mechaniczne. Podczas wykładu w Providence w 1951 roku po wiedział, że „umysł ludzki nie jest w stanie sformułować (czy zmechanizować) całej swej intuicji matematycznej”, z czego wynika, że „przewyższa [on] wszystkie maszyny”. Gödel nie uważał jednak, by jego twierdzenie cokolwiek wprost mówiło o niemechanicznej naturze ludzkiego umysłu, chyba że przyjmie się dodatkowe założenie (mianowicie, że ludzie, w odróżnieniu od maszyn, potrafią rozstrzygnąć każde równanie diofantyczne). Gödel był przeciwny wyjaśnianiu świadomości na podstawie jakichkolwiek metod naukowych. Aczkolwiek, jak zobaczymy, sam chętnie wykorzystywał narzędzia logiczne w uprawianiu filozofii, niemniej rozróżniał status poznawczy obydwu dziedzin.

Obecny stan badań nie pozwala jednoznacznie rozstrzygnąć, w jakim stopniu twierdzenie Gödla nakłada ograniczenie na nasze poznanie. Odpowiedź na to pytanie w dużej mierze zależy od wyznawanych poglądów na naturę matematyki. Twierdzenie Gödla jest wymownym przykładem wzajemnych powiązań pomiędzy logiką a filozofią. Nie tylko bowiem techniczne procedury, ale i przyjęte filozoficzne założenia „odpowiadają” za nasze rozumienie czysto formalnych, wydawać by się mogło, konkluzji. Należy się zatem zgodzić, że „filozoficzne implikacje [twierdzenia Gödla] są ciągle jeszcze przedmiotem dociekań i dyskusji”.

Gödel filozof

Słynny logik przez całe życie żywo interesował  się metafizyką, teologią, a nawet demonologią. Jak wiadomo drugi okres jego twórczości, począwszy od roku 1943, był prawie wyłącznie poświęcony filozofii. Po przedstawieniu filozoficznych wątków obecnych w działalności Gödla logika, na koniec należy wspomnieć o niektórych zagadnieniach poruszanych przez Gödla filozofa.

Gödel marzył o stworzeniu spójnego systemu metafizycznego na wzór Monadologii Leibniza. Co więcej, w rozmowie z Carnapem (1940), wysunął on nawet możliwość dokonania formalizacji teologii: „Można skonstruować ścisły system postulatów, używając do tego terminów powszechnie uważanych za metafizyczne, jak np.: «Bóg», «dusza», «idea». Jeżeli zrobi się to bardzo starannie, to wówczas nie będzie można nic zarzucić takiemu systemowi”. W roku 1970 Austriak przedstawił ontologiczny dowód na istnienie Boga jako summum bonum, dokonany na gruncie logiki modalnej drugiego rzędu.

Wracając do Gödlowskiego projektu zbudowania systemu metafizycznego powstaje pytanie o jego zasadność. Skoro bowiem twierdzenia limitacyjne nakładają ograniczenia na teorię sformułowaną w języku logiki pierwszego rzędu, to czy możliwe jest stworzenie całościowego i spójnego systemu metafizycznego na wzór systemów aksjomatycznych? Nasuwa się myśl o istnieniu pewnego paradoksu w twórczości Gödla: z jednej strony jego logiczne badania wykazały niemożliwość stworzenia Leibnizjańskiej characteristica universalis. Z drugiej strony projekt ten powraca tylnymi drzwiami na gruncie jego metafizyki. Czyżby było to zwykłe przeoczenie?  Być może jest to raczej wyraz wiary Gödla, że stosowanie metod formalnych sprzyja rozwojowi także filozoficznych zagadnień, choć niekoniecznie je rozwiązuje, ujawniając tym samym „nadwyżkowość” filozofii. J. Woleński, odpowiadając na pytanie o zadanie formalizacji zaznacza, że jest ona „sposobem konstruktywnej reprezentacji naszych intuicji. Nawet jeśli skądinąd [z twierdzeń limitacyjnych] wiemy, że nie jest to całkowicie realizowalne, każdy częściowy sukces w tym względzie jest ważny”.

---

Wieloletnia i zażyła przyjaźń Kurta Gödla i Alberta Einsteina zainspirowała niemiecko-austriackiego pisarza, Daniela Kehlmanna, do napisania o nich sztuki teatralnej. W 2012 roku odbyła się premiera Geister in Princeton w reżyserii Norberta Schaeffera.

---

Artykuł s. Teresy Obolevich ukazał się w czasopiśmie Semina Scientiarium (3/2004). Wstęp do artykułu i tytuł Austriart.pl

---

s. Teresa Obolevitch

Polska filozof urodzona na Białorusi. Tłumaczka literatury filozoficznej, profesor nadzwyczajna na Wydziale Filozoficznym Uniwersytetu Papieskiego Jana Pawła II w Krakowie. Członkini Towarzystwa Religijno-Filozoficznego im. W. Sołowjowa w Petersburgu. Autorka ponad 100 prac, w tym pięciu książek, z zakresu historii filozofii, filozofii rosyjskiej oraz problemu relacji między wiedzą a wiarą.